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El número natural. Sistemas de numeración.

RESUMEN DEL TEMA 1 DEL TEMARIO OFICIAL DE LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA

 

Esquema:

1.- Introducción. 

2.- El conjunto de los números naturales.

2.1.- Construcción axiomática de Ν. 

2.2.- Construcción de Ν a partir de la teoría de conjuntos.

2.2.a.- Las operaciones a partir de la teoría de conjuntos. 

3.- Operaciones con números naturales. 

3.1.- Suma

3.1.a.- Definición. 

3.1.b.- Propiedad asociativa. 

3.1.c.- Existencia de elemento neutro. 

3.1.d.- Propiedad conmutativa. 

3.2.- Producto

3.2.a.- Definición. 

3.2.b.- Existencia de elemento absorbente.

3.2.c.- Existencia de elemento neutro.

3.2.d.- Propiedad distributiva.

3.2.e.- Propiedad conmutativa. 

3.2.f.-  Propiedad asociativa.

3.3.- Otras propiedades de las operaciones. 

4.- Orden en Ν. 

4.1.- Relaciones de orden estricto.

4.2.- Relaciones de orden total.

5.- Semianillo de los números naturales.

6.- Sistemas de Numeración.

6.1.- Teorema fundamental de los sistemas de numeración.

7.- Conclusiones.

8.- Referencias bibliográficas y documentales.

 

 

1. INTRODUCCIÓN.

Los números naturales han sido utilizados por los seres humanos desde la prehistoria y desde el principio han cumplido dos funciones: contar y ordenar objetos. Por otro lado, la representación de dichos números naturales se ha realizado utilizando distintos sistemas de numeración.

En la primera parte del tema nos centraremos en el desarrollo teórico del conjunto de los números naturales: su construcción, las operaciones y la determinación de sus propiedades.

Posteriormente analizaremos los sistemas de numeración que han sido más empleados a lo largo de la historia y en las diversas culturas, prestando especial atención a los sistemas posicionales que finalmente se han impuesto.

 

 

2.- EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES.

Denotaremos con Ν el conjunto de los números naturales, es decir,

Ν = {0, 1, 2, 3, …}

Vamos a utilizar el criterio que incluye al cero entre los números naturales, a diferencia de la definición alternativa que no incluye dicho elemento en el conjunto.

La no inclusión del cero tiene dos posibles fundamentos: carece de sentido cuando los números se utilizan para indicar la posición en un conjunto finito ordenado y, además, históricamente el cero es muy tardío (debido, entre otras cosas, a que tampoco era necesario cuando se trataba de contar elementos). Por otro lado todas las definiciones y buena parte de las propiedades no dependen de la inclusión o no del 0.

 

2.1.- Construcción axiomática de Ν.

Partimos de la definición de un conjunto infinito y ordenado de elementos, que en lo sucesivo llamaremos números naturales y que se representan con los símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc. A dicho conjunto se le representa mediante la letra Ν.

Esta definición del conjunto de los números naturales, se basa en el establecimiento una serie de propiedades que deben verificar los elementos de dicho conjunto. Esas propiedades vienen explicitadas en los siguientes axiomas, que se conocen como Postulados de Peano:

Axioma 1 0 Ν

Axioma 2 Definimos una aplicación s: Ν Ν que asigna a cada número natural a otro s(a) que llamamos “el siguiente” y que verifica:

a) a Ν  existe s(a) Ν  

b) a, b Ν   si a = b    s(a) = s(b)  

 

2.2.- Construcción de Ν a partir de la teoría de conjuntos.

Si entre dos conjuntos A y B se puede establecer una biyección, diremos que dichos conjuntos son equipotentes o coordinables (comunmente diríamos que tienen el mismo número de elementos, pero precisamente estamos tratando de definir el concepto de número a partir de la idea de conjunto). Si A y B son equipotentes escribimos A B.

Puede demostrarse fácilmente que la relación de equipotencia es una relación de equivalencia, ya que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Por tanto, la relación de equipotencia origina clases de equivalencia y se puede asignar una “característica” común a todos los conjuntos pertenecientes a cada clase de equivalencia que llamaremos cardinal de un conjunto: card(A).

Así nos encontramos que el conjunto cociente (es decir, el conjunto de todas las clases de equivalencia) es equivalente, a su vez, al conjunto formado por los posibles cardinales, que vamos a simbolizar de la siguiente forma:

Imagen

 

Vemos que, representados de esta forma, el conjunto de los cardinales coincide con lo que conocemos como conjunto de los números naturales.

 

2.2.a.- Las operaciones a partir de la teoría de conjuntos.

 

 

3.- Operaciones con números naturales. 

Acabamos de ver definiciones de las operaciones de suma y producto que parten de la definición de Ν basada en el concepto de cardinal de un conjunto. Vamos a ver, a continuación las definiciones axiomáticas de esas operaciones.

 

3.1.- Suma

3.1.a.- Definición. 

Vamos a definir una aplicación:

f:  Ν Ν    Ν  /    (a, b) Ν Ν   se cumple:   f(a, b) Ν

que cumple:

  • f(a, 0) = a,  a Ν (1)
  • f(a, s(b)) = s(f(a, b)), a, b Ν (2)

La aplicación “siguiente número natural” la representaremos también así: s(a) = a*   y, además, la operación suma se indicará en adelante:

f(a, b) = a + b

Por ello, los axiomas anteriores pueden escribirse:

  • a + 0 = a,  a Ν
  • a + b* = (a + b)*,  a, b Ν

Así definida, la aplicación f existe y es única, como vamos a demostrar:

3.1.b.- Propiedad asociativa. 

3.1.c.- Existencia de elemento neutro. 

3.1.d.- Propiedad conmutativa. 

 

3.2.- Producto.

3.2.a.- Definición. 

3.2.b.- Existencia de elemento absorbente.

3.2.c.- Existencia de elemento neutro.

3.2.d.- Propiedad distributiva.

3.2.e.- Propiedad conmutativa. 

3.2.f.-  Propiedad asociativa. 

 

3.3.- Otras propiedades de las operaciones.

Podemos deducir, a partir de las anteriores, otras propiedades de mucho interés y que son de utilidad para todos los conjuntos numéricos. Las demostraciones no se exponen aquí pero pueden realizarse de forma sencilla.

No existencia de divisores de cero

En efecto, a, b   /  a 0   y    b 0         a·b 0.

También es cierta la recíproca:  Si a·b 0      a 0   y    b 0. 

Ley de simplificación para la suma

a, b, c Ν    Se tiene:     Si a + b = a + c       b = c

Ley recíproca de la anterior

a, b, c Ν    Se tiene:     Si   b = c     a + b = a + c

Ley de simplificación para el producto

a, b, c Ν     y   a 0   Se tiene:     Si   a·b = a·c       b = c

Ley recíproca de la anterior

a, b, c Ν    Se tiene:     Si   b = c      a·b = a·c

 

 

4.- Orden en Ν.

4.1.- Relaciones de orden estricto.

Denotaremos por  <  (se lee “es menor que”) la relación de orden que se define así:

a < b        x Ν   y  x 0     /    a + x = b

Esta relación cumple las condiciones para ser una relación de orden estricto, como vamos a ver a continuación:

Es antisimétrica

En efecto: si  a < b    b Û a   y también: si b < a     a Û b.

Es antirreflexiva

a Ν  se verifica siempre:    a Û a,  ya que no existe ningún número natural distinto del cero c  que cumpla:   a + c = a.

Es transitiva

Efectivamente, se cumple que si a < b   y   b < c,  entonces  a < c,  como puede demostrarse muy fácilmente. 

Podemos decir, entonces, que Ν es un conjunto estrictamente ordenado por la relación <.

Otras propiedades interesantes son las siguientes:

  • a Ν – {0}      0 < a
  • a, b Ν   y   a b, se cumple una y sólo una de las siguientes posibilidades:  a < b    ó    a > b.

No vamos a desarrollar aquí las demostraciones de estas propiedades.

Podríamos haber planteado la relación > (leída “es mayor que”) que puede definirse de forma independiente pero que se deriva de forma inmediata de la que hemos visto, ya que se tiene:

a > b      b < a

Es obvio que las relaciones  <  y  >  tienen las mismas propiedades, vistas anteriormente.

Por todo lo anterior, podemos decir que el conjunto Ν es un conjunto estrictamente ordenado por la relación < (o por la relación >).

 

4.2.- Relaciones de orden total.

Denotaremos por    (se lee “es menor o igual que”) la relación de orden que se define así:

a b        x Ν    /    a + x = b

Nótese que la diferencia con respecto a la relación < está en la desaparición de la condición:  x 0.

Esta es una relación de orden total, lo cual significa:

a, b Ν  se cumple a b  ó  b a.

Las condiciones que una relación, definida entre los elementos de un conjunto, debe cumplir para ser de orden total son:

Es reflexiva

a Ν  se verifica siempre:    a a,  ya que  a + 0 = a.

Es antisimétrica

En efecto: si  a b  y  b a     b = a.

Es transitiva

Efectivamente, se cumple que si a b   y   b c,  entonces  a c. 

Se podría definir la relación y demostrar, también, que es de orden total, como la que acabamos de ver.

Concluimos, por tanto, que el conjunto Ν es totalmente ordenado por la relación (o por la relación ).

Además, la relación “menor o igual que” nos muestra que Ν es un conjunto bien ordenado o que tiene un buen orden, ya que cualquier subconjunto no vacío tiene elemento mínimo (o primer elemento), según esa relación de orden. El elemento mínimo de un conjunto A se define de la siguiente forma:

m es el mínimo de A si:  mA   y   m x xA

Teniendo en cuenta que donde hemos puesto la relación se pondría la relación de orden que estuviéramos analizando.

Vamos a ver que, efectivamente, esto es así, es decir:

A Ν   /  A         m A   /   m x  x A

 

 

5.- Semianillo de los números naturales.

La operación suma en el conjunto de los números naturales es una operación interna que cumple las propiedades conmutativa, asociativa y de existencia de elemento neutro, como ya hemos visto. Por tanto, podemos decir que el conjunto de los números naturales con la operación suma: (Ν, +), tiene estructura de semigrupo  abeliano (también se dice conmutativo) con elemento neutro.

Por otro lado, si nos fijamos ahora en las propiedades que hemos visto para el producto, llegamos a la conclusión de que (Ν, ·) tiene, también estructura de semigrupo abeliano con elemento neutro (se suele decir “unitario” o “con elemento unidad”, al tratarse de la operación producto).

Por último, puesto que  (Ν, +)  y  (Ν, ·) son grupos abelianos con elemento neutro y hemos demostrado la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, podemos llegar a la conclusión de que el conjunto de los números naturales con las operaciones suma y producto tiene estructura de semianillo abeliano y unitario (o con elemento unidad) y se representa:  (Ν, +, ·).

Además, hemos visto que la relación establece una relación de orden total en Ν, por lo que se dice que: (Ν, +, ·, ) es un semianillo abeliano, unitario y totalmente ordenado.

 

 

6.- Sistemas de Numeración.

Para representar y nombrar los números se precisan símbolos y también reglas que establezcan como se combinan dichos símbolos. Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que permiten identificar cualquier número natural. A partir de un sistema de numeración que permite representar y nombrar cualquier número natural, se puede representar y nombrar cualquier otro número, ya que los otros conjuntos numéricos se generan a partir del conjunto de los números naturales.

Las primeras representaciones numéricas escritas de las que se tienen noticias son simultáneas a las primeras formas de escritura, en Mesopotamia y Egipto alrededor de 3300 ó 3200 a.J.C. Se basaban en marcas realizadas en arcilla o tablillas.

 

A lo largo de la historia y, según las distintas culturas, se han desarrollado distintos sistemas de numeración, entre los cuales destacan los de tipo posicional, que se caracterizan porque el valor de los símbolos depende de la posición que ocupan. Entre los no posicionales podemos resaltar el sistema jeroglífico de numeración egipcio que utilizaba símbolos distintos para cada potencia de 10. Por ejemplo, tres de esos símbolos eran:

1 10 9  100

Con los cuales se escribiría 425 así:

 ∩ ∩ 9 9 9 9 9

 

6.1.- Teorema fundamental de los sistemas de numeración. 

Sea la base a {Ν 0}. Se tiene que para cualquier número natural distinto de cero x, existe una forma polinómica única tal que:

x = xn·an + xn-1·an-1 +    … + x1·a1 + x0·a0    (6)

De tal forma que xi {0, 1, …, a – 1}  i {0, 1, …, n} y, además, xn  0.

Para la demostración de este teorema necesitamos manejar el concepto de división euclídea o enter, que consiste en que, dados dos números naturales: dividendo y divisor, se deben determinar otros dos números naturales: cociente y resto (este último debe ser menor que el divisor), de forma que tengamos la igualdad:

dividendo = divisor · cociente + resto

La demostración de que el cociente y el resto existen y son únicos no la exponemos aquí, pero es bastante sencilla y directa.

 

La demostración del teorema vamos a verla en dos partes: primero comprobaremos que la expresión polinómica existe para cualquier x  Ν y, posteriormente, demostraremos que dicha expresión es única.

 

 

7.- Conclusiones.

Este tema se ha organizado, básicamente, en torno a las propiedes de las operaciones suma y producto, definidas en el conjunto de los números naturales, teniendo en cuenta que tanto para los números como para las operaciones se han utilizado definiciones axiomáticas (el punto de partida han sido los axiomas de Peano).

De todas formas se han realizado indicaciones breves relativas a un planteamiento alternativo consistente en establecer que cada número natural es una clase de equivalencia de las generadas por la relación de coordinabilidad entre conjuntos, también llamado cardinal de un conjunto. Además, hemos visto que las operaciones con números naturales podían definirse a partir de las operaciones con conjuntos.

Por último hemos tratado los sistemas de numeración de forma general, pero sin profundizar, analizando con más detalle sólo los sistemas posicionales modernos. Es posible profundizar en los sistemas de numeración utilizados a lo largo de la historia a partir de alguno de los libros citados en la bibliografía.

 

 

8.- Referencias bibliográficas y documentales.

  • APOSTOL T. M., Introducción a la Teoría analítica de  números. Editorial Reverté.
  • BOYER, C. B., Historia de las Matemáticas. Editorial Alianza.
  • REY PASTOR, J., Elementos de Análisis Algebraico. Editorial Biblioteca Matemática.
  • SPIVAK, M. Calculus. Editorial Reverté.
  • JIMÉNEZ GUERRA, P. Álgebra I. UNED
  • FERNÁNDEZ NOVOA, J. Análisis Matemático I. UNED

 

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